有限元素分析 @ Never give up！永不放棄

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有限元素分析, 即有限元素方法, 是一種用於求解微分方程組或積分方程組數值解的數值技術. 這一解法基於完全消除微分方程, 即將微分方程轉化為代數方程組(穩定情形); 或將偏微分方程(組)改寫為常微分方程(組)的逼近, 這樣可以用標準的數值技術(例如歐拉法,龍格-庫塔方法等)求解.

在解偏微分方程的過程中, 主要的難點是如何構造一個方程來逼近原本研究的方程, 並且該過程還需要保持數值穩定性.目前有許多處理的方法，他們各有利弊. 當區域改變時(就像一個邊界可變的固體), 當需要的精確度在整個區域上變化, 或者當解缺少光滑性時, 有限元素方法是在複雜區域(像汽車和輸油管道)上解偏微分方程的一個很好的選擇.

例如, 在正面碰撞模擬時, 有可能在"重要"區域(例如汽車的前部)增加預先設定的精確度並在車輛的末尾減少精度(如此可以減少模擬所需消耗); 另一個例子是模擬地球的氣候模式, 預先設定陸地部分的精確度高於廣闊海洋部分的精確度是非常重要的.

歷史

有限元法最初起源於土木工程和航空工程中的彈性和結構分析問題的研究. 它的發展可以追溯到Alexander Hrennikoff(1941)和Richard Courant(1942)的工作. 這些先驅者使用的方法具有很大的差異, 但是他們具有共同的本質特徵: 利用網格離散化將一個連續區域轉化為一族離散的子區域, 通常叫做元.Hrennikoff 的工作離散用類似於格子的網格離散區域; Courant 的方法將區域分解為有限個三角形的子區域, 用於求解來源於圓柱體轉矩問題的二階橢圓偏微分方程. Courant 的貢獻推動了有限元的發展, 繪製了早期偏微分方程的研究結果.

有限元素方法的發展開始於五十年代中後期對於機身和結構分析並整合了

技術討論

以下用有限元解決兩個簡單問題, 更一般的問題可以類似的推導出來. 現假設讀者已經熟悉微積分和線性代數.

P1 是一個較簡單的一維問題

$\text{[math]}$

其中 $f$ 是已知函數, $u$ 是關於 $x$ 的未知函數, $u''$ 是 $u$ 對 $x$ 的二階導數.

二維比較簡單的問題是狄利克雷問題

$\text{[math]}$

其中 $Ω$ 是 $(x, y)$ 平面上的連通開區域, 它的邊界 $\text{[math]}$ 是良性的(例如, 光滑流行或多邊形), $u x x$ 和 $u y y$ 分別表示 $x$ 和 $y$ 的二階導數.問題 P1 能夠通過計算反導數而直接解決. 然而, 解決邊值問題的這一方法只有在空間維數為1時才可用, 並且不能推廣到高維問題以及形如 $u + u'' = f$ 的問題. 出於這種考慮,我們將用有限元素方法解決 P1 並將其推廣直問題 P2.