維基:非均勻有理B樣條

以NX Shape Studio所繪的NURBS 動畫版
下載

非均勻有理樣條（NURBS），（non uniform rational B-spline），是在電腦圖形學中常用的數學模型，用於產生和表示曲線及曲面。

:維基英文版圖文詳解

Three-dimensional NURBS surfaces can have complex, organic shapes.
三維 NURBS曲面可以有複雜的，有機的形狀。
 Control points influence the directions the surface takes.
控制點影響的指示，表面採用。
 The outermost square below delineates the X/Y extents of the surface. Modeled and rendered in Cobalt .
最外面的廣場下面勾劃出的X / Y程度的表面。 建模和渲 染的鈷 。

歷史

NURBS的發展始於1950年代，它是由需要像在車體和船殼中使用的自由曲面的數學上的精確表示的工程師們所發現的，它可以在任何技術上需要的時候精確的複製出來。以前這類曲面的表示只存在於設計者創建的實體模型。

該發展的先驅包括：皮埃爾·貝塞爾（Pierre Bézier）， 他曾是Renault的工程師，以及Paul de Casteljau，他在Peugeot工作，兩個都是法國人。貝塞爾基本是和de Casteljau獨立發展的，兩人互相不知道對方的工作。但是因為貝塞爾發表了他的工作的結果，今天的一般的電腦圖形學使用者認為樣條 -- 透過在曲線上的控制點表示的那類 - 為貝塞爾樣條，而de Casteljau的名字僅作為他為計算參數化曲面所設計的演算法而為人所知。在1960年代，人們認識到非均勻有理基本樣條是貝塞爾曲線的一個推廣，而貝賽爾曲線可以視為非均勻有理B樣條。

最初NURBS僅用於汽車公司私有的電腦輔助設計包。後來它們成為標準電腦圖形包的一部分，包括OpenGL圖形函式庫。

NURBS曲線和曲面的實時、互動繪製最初由Silicon Graphics工作站於1989年提供。在1993年，CAS Berlin（一個和柏林工大合作的小創業公司）開發了第一個個人機上的互動式NURBS建模器，稱為NöRBS。今天多數桌上型電腦上的專業電腦圖形應用程式提供NURBS技術，一般透過整合一個從專用公司來的NURBS引擎。

使用

NURBS對於電腦輔助設計、製造和工程（CAD，CAM，CAE）是幾乎無法迴避的，並且是很多業界廣泛採用的標準的一部分，例如IGES， STEP，和PHIGS。

但還是有很多它們在互動式建模中的優點和有用性的錯誤觀念，主要是由於關於單一軟體包及其使用者介面的易用性而得出的猜測。 通常，據說編輯NURBS曲線和曲面是高度直觀和可預測的。控制點總是直接連線到曲線或曲面上或象是透過一根橡皮筋連線。根據使用者介面的型式，編輯可以透過它們各自的控制點實作，這對於貝塞爾曲線是最顯然和最一般的，或者也可以透過高層的工具，例如樣條建模或者階層的編輯。高層工具可以設計得很強大，並得益於NURBS創建和建立不同層次的連續性的能力： c0連續性表示連通性，c1連續性可以視為沒有尖角，而c2連續性通常稱為幾何連續性，視覺上也就是「光滑」的東西，用NURBS還可以達到更高階的連續性，它們可以導致"亮度連續性"。這被新車模型的攝影師所倚重，他們熱衷於展示霓虹燈在車身上的映像。燈光可以展示出完美的光滑度，這在沒有NURBS的情況下實際上是不可能。

技術細節

一條NURBS曲線用一個帶比重控制點和曲線的次序以及一個節點向量的集合定義。NURBS是B-樣條和貝塞爾曲線和曲面兩者的推廣，其主要差別在於控制點的比重，這使它們成為有理的（非有理B-樣條是有理B-樣條的特殊情形）。 NURBS曲線在一個參數方向上演變，通常內部用's'參數代表，而NURBS曲面在兩個參數方向上演變。 所以，通過計算NURBS曲線的s-參數，它可以在三維空間中表示，通過計算NURBS曲面的s和t它也可以在三維空間中表示。 推廣意味著：一條貝茲曲線總是一條NURBS曲線，就像狗總是動物。反過來則不總是成立，一條NURBS曲線可以是一條貝茲曲線，就像一個動物可以是一條狗。

NURBS有用的原因有很多條：他們

• 在仿射變換下不變也在投影變換下不變；
• 提供了標準解析形體（例如圓錐曲面）和自由曲面兩者的共同數學形式；
• 提供了設計一大類形體的靈活性；
• 減少了存儲形體的記憶體消耗（和更簡單的方法相比）；
• 可以用數值上穩定和精確的演算法較快的計算；
• 是非有理B-樣條和非有理和有理貝茲曲線和曲面的推廣。

節點向量是一個參數值的序列，用於決定控制點在何處和如何影響NURBS曲線。節點的個數總是等於控制點的個數加上曲線的階數。節點必須只是用於內部計算，因而一般對於軟體的終端用戶來說是沒有幫助的、不可編輯、甚至不可以見的。

節點向量的值必須升序：下面的向量是正確的：[0 0 1 2 3]，而接下來這個不是：[0 0 2 1 3]。也要注意唯一重要的因素是值之間的比例：節點向量[0 0 1 2 3]，[0 0 2 4 6]和[1 1 2 3 4]產生相同的曲線。不可以有比曲線的度數更多的重合值：節點的重複度≤度數。 對於一階NURBS，每個節點和一個控制點結對。

曲線的序大於或等於2，對應與一條線性曲線（序=2，表示一條直線），一條二次曲線（序=3)以及一條三次曲線（序=4）。數學上曲線用同階的多項式表示，一條三次曲線用3階多項式表示，其序為4。另外，控制點的個數必須等於或大於曲線的序。實踐上，3階的三次類型是表示曲線和曲面時最常用的。而4次或5次的有時候有用，特別是用於導數，更高階實際上從來不用因為他們經常導致內部數值問題並趨向於消耗更多的不必要的計算。

非有理曲線有時不夠用，例如用於表示圓。 這是表示一個XY平面上的均勻的圓的控制點，第四個參數是比重：

   cp_circle[0] = Controlpoint( 1、 0、0、     1);
   cp_circle[1] = Controlpoint( 1、 1、0、sqrt(2) / 2.0);
   cp_circle[2] = Controlpoint( 0、 1、0、     1);
   cp_circle[3] = Controlpoint(-1、 1、0、sqrt(2) / 2.0);
   cp_circle[4] = Controlpoint(-1、 0、0、     1);
   cp_circle[5] = Controlpoint(-1、-1、0、sqrt(2) / 2.0);
   cp_circle[6] = Controlpoint( 0、-1、0、     1);
   cp_circle[7] = Controlpoint( 1、-1、0、sqrt(2) / 2.0);
   cp_circle[8] = Controlpoint( 1、 0、0、     1);

參看http://www.cs.bris.ac.uk/Teaching/Resources/COMS30115/all_9.pdf ，那裡有一個概述（特別是第1和2章）。

• About Nonuniform Rational B-Splines - NURBS
• TSplines is a Superset of NURBS
• NURBS with 3ds max tutorials (en)
• An Interactive Introduction to Splines

取自"http://zh.wikipedia.org/zh-tw/非均匀有理B样条"



2.NURBS,Polygon,subdiv,volume的MAYA疑問知識＋:

NURBS是一種利用貝茲曲線，透過點與切線的曲度及跨度來產生曲面的形狀，而NURBS的好處就是檔案小，合適創造出相當複雜的曲面
參 考：http://www.rw-designer.com/NURBS

Polygon是利用多邊形產生具封閉空間的面域，然後透過許多 的封閉多邊形去產生模型的形狀，因此越是平滑的面需要越多的封閉多邊型。
參考：http://msdn.microsoft.com/zh-tw /library/system.windows.shapes.polygon(VS.95).aspx

subdiv是結合NURBS 及Polygon的優點而產生的新型建模方式。
參考：http://www.seamless3d.com/tut/subdiv /index.html

volume應該是指數值的量，應該不是建模方式。

基本上，越是工業標準的複雜表面越是需要 NURBS建模，越是規則性的結構越是平面的外觀越是需要用polygon，當然你也可以都只用一種建模方式，只要合標準就行。



3.3D MAX的NURBS曲線的定義:
一條NURBS曲線用一個帶比重控制點和曲線的次序以及一個節點向量的集合定義。NURBS 是B- 樣條和貝 茲曲線和曲面兩者的推廣，其主要差別在於控制點的比重，這使它們成為有理的（非有理B-樣條是有理B-樣條的特殊情形）。 NURBS曲線在一個參數方向上演變，通常內部用's'參數代表，而NURBS曲面在兩個參數方向上演變。 所以，通過計算NURBS曲線的s-參數，它可以在三維空間中表示，通過計算NURBS曲面的s和t它也可以在三維空間中表示。 推廣意味著：一條貝茲曲線總是一條NURBS曲線，就像狗總是動物。反過來則不總是成立，一條NURBS曲線可以是一條貝茲曲線，就像一個動物可以是一條 狗。

NURBS有用的原因有很多條：他們

• 在仿 射變換下不變也在投 影變換下不變；
  
• 提供了標準解析形體（例如圓 錐曲面）和自由曲面兩者的共同數學形式；
  
• 提供了設計一大類形體的靈活性；
  
• 減少了存儲形 體的記憶體消耗（和更簡單的方法相比）；
  
• 可以用數值上穩定和精確的演算法較快的計算；
  
• 是非有理B-樣條和非有理和有理貝茲曲線和曲面的推廣。

節點向量是一個參數值的序列，用於決定控制點在何處和如何影響NURBS曲線。節點的 個數總是等於控制點的個數加上曲線的階數。節點必須只是用於內部計算，因而一般對於軟體的終 端用戶來說是沒有幫助的、不可編輯、甚至不可以見的。(知識+)


4.MAYA的Nurbs要做什麼?(知 識+)

MAYA的Nurbs曲線功能,

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